درسنامه آموزشی فصل سوم حسابان (1) کلاس یازدهم علوم ریاضی

بار دیگر، مسئله افزایش جرم توده باکتری در محیط کشت را که در ابتدای این فصل مطرح شد، در نظر بگیرید. می‌خواهیم بدانیم در چه زمانی وزن باکتری‌ها 512 گرم است، یعنی اگر $m(t) = 512$، می‌خواهیم $t$ را بیابیم. چون تابع $m(t) = {2^t}$ یک تابع یک به یک است، پس وارون‌پذیر است و از این رو $t = {m^{ - 1}}(512)$. به جدول‌های زیر نگاه کنید:

نمودارهای تابع $y = f(x) = 2x$ و تابع وارون آن در شکل زیر رسم شده‌اند. دقت کنید که برای رسم تابع وارون $y = {2^x}$ کافی است قرینه نقاط روی تابع را نسبت به خط $y = x$ پیدا کنیم. به‌عنوان مثال، نقطه $(2,4)$ روی تابع نمایی $y = {2^x}$ و نقطه $(4,2)$ که قرینه آن نسبت به خط $y = x$ است، روی تابع وارون آن (تابع لگاریتمی) قرار دارد. می‌توان دید:

${D_f} = ( - \infty , + \infty )\,\,,\,\,{R_f} = (0,\infty )$

${D_{{f^{ - 1}}}} = (0, + \infty )\,\,,\,\,{R_{{f^{ - 1}}}} = ( - \infty , + \infty )$

توجه کنید که دامنه $f$ با برد ${f^{ - 1}}$ برابر است و برد $f$ با دامنه ${f^{ - 1}}$.

فرض کنید داریم $f(x) = {3^x}$ و $y = {f^{ - 1}}$. در این صورت $y$ را لگاریتم $x$ در پایه 3 می‌خوانیم و آن را با نماد $y = {\log _3}x$ نشان می‌دهیم و می‌خوانیم لگاریتم $x$ در پایه 3.

مثال: وارون تابع $f(x) = {5^x}$ تابع ${f^{ - 1}}(x) = {\log _5}x$ است. همچنین وارون تابع $g(x) = {(\frac{1}{3})^x}$ تابع ${g^{ - 1}}(x) = {\log _{\frac{1}{3}}}x$ است.

مثال: با توجه به نمودار $f(x) = {\log _2}x$، می‌توان دید:

$f(1) = 0$
$f(2) = 1$
$f(4) = 2$

مثال: مقادیر زیر با استفاده از نمودار $f(x) = {\log _3}x$ به‌دست آمده‌اند.

$f(1) = 0$
$f(3) = 1$
$f(\frac{1}{3}) =  - 1$
$f(9) = 2$

به‌طور کلی

به‌عنوان مثال، ${\log _2}8 = 3$ زیرا ${2^3} = 8$ و یا $3 = {\log _{10}}1000$، زیرا $1000 = {10^3}$. همچنین ${\log _{10}}\frac{1}{{100}} =  - 2$، زیرا ${10^{ - 2}} = \frac{1}{{{{10}^2}}} = \frac{1}{{100}}$.

مثال: فرض کنید $f(x) = {\log _{10}}x$. مقدار تابع $f$ را در هر یک از نقاط زیر در صورت وجود، حساب کنید.

الف) $x = 10$
ب) $x = 100$
پ) $x =  - 2$
ت) $x = 1000$

حل:

الف) $f(10) = {\log _{10}}10 = 1$، زیرا ${10^1} = 1$.

ب) $f(100) = {\log _{10}}100 = 2$، زیرا ${10^2} = 100$.

پ) $f( - 10)$ موجود نیست، زیرا لگاریتم اعداد منفی تعریف نمی‌شود.

ت) $f(1000) = {\log _{10}}1000 = 3$، زیرا $1000 = {10^3}$.

مثال: با توجه به تعریف لگاریتم، جدول زیر را داریم:

${3^4} = 81$	${2^{10}} = 1024$	${5^3} = 125$	${6^2} = 36$	${2^5} = 32$
${\log _3}81 = 4$	${\log _2}1024 = 10$	${\log _5}125 = 3$	${\log _6}36 = 2$	${\log _2}32 = 5$

مثال: تساوی‌های زیر را به‌صورت توانی بیان کنید.

${\log _7}1 = 0$ (الف

${\log _3}\frac{1}{{27}} =  - 3$ (ب

حل:

الف) اگر ${\log _7}1 = 0$، آن‌گاه طبق تعریف داریم $1 = {7^0}$.

ب) اگر ${\log _3}\frac{1}{{27}} =  - 3$، آن‌گاه طبق تعریف داریم $\frac{1}{{27}} = {3^{ - 3}}$.

مثال: مقادیر زیر را محاسبه کنید:

الف) ${\log _2}32$

ب) ${\log _6}6$

پ) ${\log _4}1$

حل:

الف) اگر $a = {\log _2}32$، آن‌گاه طبق تعریف داریم ${2^a} = 32$ و از این رو $a = 32$.

ب) اگر $b = {\log _6}6$، آن‌گاه ${6^b} = 6$ و در نتیجه $b = 1$.

پ) اگر $c = {\log _4}1$، آن‌گاه ${4^c} = 1$ و در نتیجه $c = 0$.